Je pra­tique la bicy­clette et j’étudie le Yi Jing.

La pra­tique de la bicy­clette est aujourd’hui uni­ver­selle, sur­tout dans les plaines.

• C’est quoi, une bicy­clette ? … car il faut bien com­men­cer par savoir de quoi on parle ; les trot­ti­nettes res­semblent aux bicy­clettes par cer­tains côtés, mais n’en sont pas. Une bicy­clette com­porte deux roues cir­cu­laires, un péda­lier et une chaîne qui entraine la roue arrière. Les para­mètres objec­tifs, comme le dia­mètre des roues ou le nombre de dents du péda­lier et des pignons, consti­tuent une des­crip­tion de la bicy­clette que nous pou­vons qua­li­fier de géo­mé­trique.
• Com­ment fonc­tionne une bicy­clette ? Rou­ler à bicy­clette est un équi­libre en mou­ve­ment … si, une fois des­cen­du de bicy­clette, nous cher­chons à com­prendre ce qui se passe quand on était des­sus, il faut recou­rir à la branche de la phy­sique dont l’ob­jet est l’é­tude du mou­ve­ment, des défor­ma­tions ou des états d’é­qui­libre des sys­tèmes phy­siques : la méca­nique.
• Pour­quoi faire de la bicy­clette ? Est-ce pour opti­mi­ser des dépla­ce­ments, explo­rer le monde, entre­te­nir sa san­té … ce niveau de ques­tion­ne­ment est de nature phi­lo­so­phique. Chaque niveau de ques­tion­ne­ment éclaire en par­tie les sui­vants. Comp­ter des dents et mesu­rer des dia­mètres per­met de relier l’action de péda­ler à la dis­tance par­cou­rue. Inté­grer la pente de la route, l’inclinaison dans les virages et la vitesse du cycliste per­met d’aborder les ques­tions sub­jec­tives d’effort four­ni, de prise de risque et d’émotions vécues. Il devient pos­sible alors d’interpréter nos petits voyages à bicy­clette comme des leçons de vie.

Dans mon étude du Yi Jing, j’ai com­men­cé par explo­rer la géo­mé­trie de ses consti­tuants de base : les hexa­grammes.

Cet article est orga­ni­sé en trois par­ties, dont cha­cune consiste à com­men­ter libre­ment une illus­tra­tion.

La pre­mière illus­tra­tion est un dia­gramme abon­dam­ment com­men­té dans la lit­té­ra­ture. Il s’agit du Dia­gramme du Xian­tian­tu envoyé par Bou­vet à Leib­niz en pièce jointe à sa lettre du 4.11.1701. (source : Sämt­liche Schrif­ten und Briefe, Reihe I, Band 20, p. 556.)

Il est géné­ra­le­ment attri­bué à Shao Yong, mais serait l’œuvre de son dis­ciple Zhu Xi (1130–1200) selon [1].

Que voyons-nous ? Des figures à six traits, appe­lées hexa­grammes, avec les idéo­grammes chi­nois qui les nomment.

Note : Les traits des hexa­grammes sont numé­ro­tés de 1 à 6 de bas en haut. Un trait dis­con­ti­nu est inter­pré­té comme trait Yin ; un trait conti­nu est inter­pré­té comme trait Yang. Ces deux moda­li­tés pos­sibles génèrent 2^6= 64 hexa­grammes (pour le public peu fami­lier avec les nota­tions mathé­ma­tiques, le signe “*” se lit “mul­ti­plié par“ tan­dis que “^” se lit “puis­sance” ; 2^6, éga­le­ment noté 2⁶, signi­fie 2*2*2*2*2*2).

Cha­cun des soixante-quatre hexa­grammes appa­raît deux fois dans le Dia­gramme du Xian­tian­tu, une fois dans le car­ré cen­tral et une fois dans le cercle péri­phé­rique.

Atten­tion : pour lire cor­rec­te­ment les hexa­grammes situés sur le cercle, il faut pro­cé­der du centre du dia­gramme vers la péri­phé­rie ; autre­ment dit, le trait du bas est le plus proche du centre, le trait du haut est le plus exté­rieur !

Aucune numé­ro­ta­tion dans le docu­ment ori­gi­nal, mais Leib­niz a ajou­té ses propres numé­ros (de 0 à 63, pour 64 hexa­grammes) ; il uti­li­sait un pin­ceau trem­pé dans l’encre et a pro­cé­dé par essais et erreurs. La figure n’étant pas très lisible, j’ai repro­duit en rouge les numé­ros 0, 31, 32 et 63 afin de rendre évi­dents quelques points de repère et de rendre plus lisible le prin­cipe de l’ordonnancement.

Dans la dis­po­si­tion cir­cu­laire, le 0 de Leib­niz se trouve en bas de la par­tie droite, la série conti­nue en mon­tant par la droite dans le sens anti­ho­raire jusqu’au numé­ro 31 ; puis le 32 est pla­cé à gauche du 0 en bas de la par­tie gauche, et la série se pour­suit en mon­tant par la gauche dans le sens horaire jusqu’au numé­ro 63.

Pour la dis­po­si­tion en car­ré, le 0 de Leib­niz se trouve en haut à gauche du car­ré, puis les numé­ros suivent dans l’ordre habi­tuel de l’écriture occi­den­tale, de gauche à droite et de haut en bas ; cela fait huit lignes de huit hexa­grammes cha­cune, avec le 63 en bas à droite.

Il est pro­bable que Leib­niz a com­men­cé à pla­cer ses numé­ros dans la dis­po­si­tion en car­ré, puis a repro­duit ensuite la numé­ro­ta­tion des hexa­grammes sur le cercle.

Regar­dons d’un peu plus près le prin­cipe de cette numé­ro­ta­tion.

La numé­ro­ta­tion adop­tée par Leib­niz suit deux règles. Tout d’abord une conven­tion d’écriture des sym­boles selon laquelle Yin vaut 0 et Yang vaut 1. Ensuite une conven­tion posi­tion­nelle qui donne des valeurs dif­fé­rentes aux traits selon leur posi­tion ; consi­dé­rons par exemple les hexa­grammes « Dimi­nuer » et « Aug­men­ter » :

« Dimi­nuer », lu de bas en haut, vaut Yang-Yang-Yin-Yin-Yin-Yang ; son numé­ro de Leib­niz est : 1*32+1*16+0*8+0*4+0*2+1*1= 49.

« Aug­men­ter », lu de bas en haut, vaut Yang-Yin-Yin-Yin-Yang-Yang ; son numé­ro de Leib­niz est : 1*32+0*16+0*8+0*4+1*2+1*1= 35.

La conven­tion posi­tion­nelle obéit à la règle sui­vante : 32=2^5 pour le trait 1, puis 16=2^4, puis 8=2^3, puis 4=2^2, puis 2=2^1 et fina­le­ment 1=2^0 pour le trait 6 ; cette règle peut être expri­mée dans une for­mule mathé­ma­tique ramas­sée : le trait n° i a pour valeur 2^(6‑i).

Ain­si, à chaque hexa­gramme cor­res­pond un nombre com­pris entre 0 et 63 écrit dans le sys­tème binaire de Leib­niz ; nous appel­le­rons ce nombre le numé­ro de Leib­niz de l’hexagramme.

Comme Bou­vet l’avait pres­sen­ti, le Dia­gramme du Xian­tian­tu est une invi­ta­tion à la numé­ro­ta­tion des hexa­grammes dans le sys­tème binaire. Nous allons étu­dier main­te­nant les pro­prié­tés qui en découlent et ten­ter de don­ner une signi­fi­ca­tion au double ordon­nan­ce­ment en cercle et en car­ré.

Regar­dons de plus près la dis­po­si­tion en car­ré où chaque ligne com­porte huit hexa­grammes. On peut y avoir aus­si une dis­po­si­tion en huit colonnes de huit hexa­grammes. Pour rendre la figure plus lisible, chaque hexa­gramme a été ins­crit dans un petit car­ré rouge où l’on voit :

• dans la par­tie gauche, l’hexagramme com­po­sé de ses deux tri­grammes, le tri­gramme du haut et le tri­gramme du bas, avec à droite de cha­cun son numé­ro de Leib­niz en petits carac­tères (voir Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des hexa­grammes) ;
• en bas à droite, le numé­ro de Leib­niz de l’hexagramme ; il est facile de démon­trer que le numé­ro de Leib­niz d’un hexa­gramme vaut la somme du numé­ro de Leib­niz du tri­gramme du haut et de huit fois le numé­ro de Leib­niz du tri­gramme du bas. Par exemple : 60 = 4 + 8*7.

Quand on par­court les soixante-quatre hexa­grammes de gauche à droite et de haut en bas, ils appa­raissent ran­gés en ordre crois­sant de 0 à 63.
Regar­dons plus atten­ti­ve­ment.

Dans chaque ligne, les tri­grammes du bas sont iden­tiques ; la ligne supé­rieure cor­res­pond aux tri­grammes 0, puis vient la ligne des 1, puis des 2 …  et tout en bas la ligne des 7.

Dans chaque colonne, les tri­grammes du haut sont iden­tiques ; la colonne de gauche cor­res­pond aux tri­grammes 0, puis vient la colonne des 1, puis des 2 …   et tout à droite la colonne des 7.

Repre­nons la lec­ture des hexa­grammes de gauche à droite et de haut en bas :

0, 1, 2, … 7 que nous pou­vons écrire : 0+8*0, 1+8*0, 2+8*0, …7+8*0

8, 9, … 15 que nous pou­vons écrire : 0+8*1, 1+8*1, …7+8*1

16, …23 que nous pou­vons écrire : 0+8*2, …7+8*2

…

56, … 63 que nous pou­vons écrire : 0+8*7, …7+8*7.

La dis­po­si­tion en car­ré des soixante-quatre hexa­grammes consti­tue donc une invi­ta­tion à y voir les tri­grammes, ain­si qu’une méthode pour ordon­nan­cer les hexa­grammes qui s’appuie sur l’ordonnancement des tri­grammes. Le sys­tème binaire y est pré­sent dans toute sa puis­sance.

Reve­nons main­te­nant sur la dis­po­si­tion cir­cu­laire pour le regar­der d’un autre œil. S’il fal­lait pla­cer les hexa­grammes à la suite d’un seul mou­ve­ment, il serait en forme de « S ». Par­tant de l’hexagramme 0 en bas, la série se déroule en mon­tant par la droite dans le sens anti­ho­raire jusqu’au numé­ro 31 en haut de la par­tie droite, puis tra­verse le centre de la figure pour pla­cer l’hexagramme 32 en bas de la par­tie gauche, puis se pour­suit en mon­tant par la gauche dans le sens horaire jusqu’au numé­ro 63 en haut.

Le pas­sage de 31 à 32 place les deux hexa­grammes symé­tri­que­ment par rap­port au centre, or ils sont com­plé­men­taires : lorsqu’un trait est Yin chez l’un, il est Yang chez l’autre et réci­pro­que­ment. Et par ailleurs 31+32=63.

Nous démon­trons dans Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des hexa­grammes qu’il s’agit d’une pro­prié­té géné­rale des hexa­grammes : la com­plé­men­ta­ri­té est véri­fiée si et seule­ment les numé­ros de Leib­niz ont pour somme 63. Or la dis­po­si­tion en « S » garan­tit cette pro­prié­té par construc­tion : deux hexa­grammes situés symé­tri­que­ment par rap­port au centre ont pour somme 63 et sont par consé­quent com­plé­men­taires.

Tel est l’enseignement de la dis­po­si­tion en « S » : les hexa­grammes dis­po­sés symé­tri­que­ment par rap­port au centre sont com­plé­men­taires, ou encore : les hexa­grammes dis­po­sés symé­tri­que­ment par rap­port au centre ont pour somme de leurs numé­ros de Leib­niz 63.

Reve­nons main­te­nant au car­ré, ou plu­tôt à l’arrangement huit X huit. Cette figure a éga­le­ment un centre, et la pro­prié­té qui vient d’être énon­cée pour le « S » est éga­le­ment véri­fiée pour le car­ré : 0 et 63, 1 et 62 … 11 et 52 … 31 et 32 sont symé­triques et ont pour somme 63.

Selon [2], Shao Yong s’ins­crit dans l’é­cole xiang­shu (étude des images et des nombres), dont l’am­bi­tion est de sys­té­ma­ti­ser le monde via des struc­tures abs­traites ; sa pen­sée dis­tingue le niveau théo­rique (xian­tian, « avant le ciel ») du niveau de l’ex­pé­rience concrète (hou­tian, « après le ciel »).

Le Dia­gramme du Xian­tian­tu semble bien une invi­ta­tion à la géo­mé­trie. Par des aller-retours visuels entre un cercle et un car­ré, il nous dévoile un « sys­tème Yi Jing » avec une symé­trie cen­trale et une rela­tion de com­po­si­tion entre tri­grammes et hexa­grammes.

Nous com­men­çons à voir la beau­té de la bicy­clette, mais elle a encore des sur­prises à nous offrir car le « sys­tème Yi Jing » intègre éga­le­ment la notion de nucléa­ri­té qui fait l’objet de l’article à venir Leib­niz et les nucléaires.

Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des Hexa­grammes

La page Auteur de Phi­lippe Lemois­son

Réfé­rences :

1. Alain Arrault — Les dia­grammes de Shao Yong (1012–1077). Qui les a vus ? (2000) Études chi­noises, vol. 19
2. Alain Arrault — Shao Yong (1012–1077), poète et cos­mo­logue (2002) Col­lège de France / IHEC, Paris