Après avoir explo­ré, dans l’article Shao Yong & Leib­niz, la géo­mé­trie ins­crite en fili­grane dans le Dia­gramme du Xian­tian­tu, je pour­suis ici l’étude du Yi Jing en me foca­li­sant sur la rela­tion de nucléa­ri­té, tou­jours avec le regard de celui qui apprend à des­si­ner une bicy­clette pour mieux com­prendre com­ment elle fonc­tionne.

L’article s’intitule « Leib­niz et les nucléaires », non pas parce que Leib­niz se serait pen­ché sur ce sujet par­ti­cu­lier, mais parce que dans toute la suite, je vais m’appuyer sur les numé­ros de Leib­niz des hexa­grammes, ceux-là mêmes qui gou­vernent leur ordre de pré­sen­ta­tion dans le Dia­gramme du Xian­tian­tu.

Note 1 : Le lec­teur trou­ve­ra dans Les 4 hexa­grammes car­di­naux : au cœur du Yi Jing une pré­sen­ta­tion détaillée des notions « nucléaire » et « car­di­nal », indis­pen­sables pour la lec­ture de ce qui suit.

Note 2 : Les numé­ros de Leib­niz des seize nucléaires sont faci­le­ment cal­cu­lables à par­tir des quatre traits cen­traux. De même les quatre car­di­naux sont entiè­re­ment défi­nis par les traits 3 et 4 des hexa­grammes ; il se trouve que leurs numé­ros de Leib­niz sont les mul­tiples de 21 : 0=0*21, 21=1*21, 42=2*21, 63=3*21. Pour des expli­ca­tions détaillées, voir ici Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des hexa­grammes.

Com­men­çons par exa­mi­ner le car­ré du Dia­gramme du Xian­tian­tu, où les hexa­grammes sont ran­gés par numé­ros de Leib­niz crois­sants, confor­mé­ment à la par­tie sur fond bleu de la figure ci-des­sous. Si nous grou­pons par deux les hexa­grammes, et que nous dépla­çons vers la droite la deuxième moi­tié de la série, nous obte­nons l’arrangement sur fond jaune. Il suf­fit alors de consi­dé­rer la dia­go­nale (en rouge) et nous avons la série des seize nucléaires, pré­sen­tés par paires de suc­ces­sifs.

Repre­nons main­te­nant le car­ré du Dia­gramme du Xian­tian­tu, et colo­rions les nucléaires en fonc­tion de leur bigramme cen­tral [trait 3 & trait 4], en lais­sant sur fond gris les autres hexa­grammes. Nous obte­nons l’illustration ci-des­sous, où les car­di­naux sont enca­drés en noir :

• Les nucléaires de cou­leur taupe sont carac­té­ri­sés par [trait 3=Yin & trait 4=Yin] et ont tous pour nucléaire l’hexagramme car­di­nal 0.
• Les nucléaires de cou­leur jaune sont carac­té­ri­sés par [trait 3=Yang & trait 4=Yin] et ont tous pour nucléaire l’hexagramme car­di­nal 21.
• Les nucléaires de cou­leur verte sont carac­té­ri­sés par [trait 3=Yin & trait 4=Yang] et ont tous pour nucléaire l’hexagramme car­di­nal 42.
• Les nucléaires de cou­leur bleue sont carac­té­ri­sés par [trait 3=Yang & trait 4= Yang] et ont tous pour nucléaire l’hexagramme car­di­nal 63.

Si nous obser­vons atten­ti­ve­ment cette figure, des pro­prié­tés appa­raissent ; elles sont démon­trées dans Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des hexa­grammes :

• Pro­prié­té 1 : Deux hexa­grammes pla­cés symé­tri­que­ment par rap­port au centre du car­ré (exemple : 20 & 43) ont pour somme 63, ce qui signi­fie qu’ils sont com­plé­men­taires (voir Shao Yong & Leib­niz)
• Pro­prié­té 2 : Le nucléaire du symé­trique d’un hexa­gramme est le symé­trique de son nucléaire. Exemple : 2 a pour symé­trique 61 et pour nucléaire 1 ; 61 a pour nucléaire 62 qui est le symé­trique de 1.
• Pro­prié­té 3 : Le car­di­nal du symé­trique d’un hexa­gramme est le symé­trique de son car­di­nal. Exemple : 2 a pour symé­trique 61 et pour car­di­nal 0 ; 61 a pour car­di­nal 63 qui est le symé­trique de 0.

Lais­sons de côté le car­ré, et pen­chons nous main­te­nant sur l’arrangement cir­cu­laire des hexa­grammes dans le Dia­gramme du Xian­tian­tu. Les lunettes binaires aima­ble­ment prê­tées par Leib­niz ont révé­lé une clé de lec­ture en forme de « S » ; elle est illus­trée dans la figure ci-des­sous (où le 31 et le 32 ont été déca­lés pour mieux la mettre en évi­dence) :

Cette clé décrit le DEPLOIEMENT des hexa­grammes, par numé­ros de Leib­niz crois­sants, de telle sorte que les com­plé­men­taires soient tou­jours symé­triques par rap­port au centre de la figure. La série ordon­née part de 0 en bas, monte vers la droite dans le sens anti­ho­raire jusqu’à 31, puis tra­verse par le centre pour dépo­ser le 32 en bas, puis monte vers la gauche dans le sens horaire pour abou­tir au 63 en haut, face au 0.

Nous allons com­bi­ner cette opé­ra­tion gra­phique de DEPLOIEMENT avec une autre opé­ra­tion gra­phique que nous appel­le­rons EMPILEMENT, et réité­rer ces opé­ra­tions, afin de trans­for­mer en losange une série linéaire dont le nombre d’éléments est mul­tiple de quatre.

Consi­dé­rons la série de seize élé­ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Le pre­mier DEPLOIEMENT consiste à dis­tri­buer la série le long du « S » de Shao Yong, de façon symé­trique avec huit élé­ments dans la par­tie droite du « S » et huit dans la par­tie gauche ; à l’issue de ce DEPLOIEMENT, le 9 regarde le 1, le 10 regarde le 2 … le 16 regarde le 8. 

Le pre­mier EMPILEMENT consiste alors à for­mer huit « piles » de deux hexa­grammes cha­cune, en dépo­sant le 9 sur le 1, le 10 sur le 2 … le 16 sur le 8.

Nous pou­vons alors pro­cé­der à un nou­veau DEPLOIEMENT en dis­tri­buant cette fois la série des huit piles le long du « S ». A l’issue de cette opé­ra­tion, la pile 13|5 regarde la pile 1|9 … la pile 16|8 regarde la pile 4|12.

Un nou­vel EMPILEMENT consiste alors à for­mer quatre piles de quatre hexa­grammes cha­cune, en dépo­sant la pile 13|5 sur la pile 1|9 … la pile 16|8 sur la pile 4|12.

L’arrangement final est losange 4x4 un peu apla­ti.

Si nous opé­rons un simple DEPLOIEMENT des car­di­naux nous obte­nons un losange 2x2.

Si nous appli­quons deux fois le couple DEPLOIEMENT/EMPILEMENT à la série des seize nucléaires 0, 1, 10, 11, 20, 21, 30, 31, 32, 33, 42, 43, 52, 53, 62, 63, nous obte­nons comme pré­cé­dem­ment un losange 4x4.

Si nous appli­quons trois fois le couple DEPLOIEMENT/EMPILEMENT à la série des soixante-quatre hexa­grammes, nous obte­nons un losange 8x8.

Ces trois losanges sont pré­sen­tés dans la figure ci-des­sous.

Cha­cun des trois losanges est faci­le­ment mémo­ri­sable au vu des régu­la­ri­tés qui appa­raissent dans les numé­ros de Leib­niz. De plus, on peut remar­quer dans chaque losange une variante de la Pro­prié­té 1 : deux hexa­grammes pla­cés symé­tri­que­ment par rap­port au centre ont pour somme 63, ce qui signi­fie qu’ils sont com­plé­men­taires (voir Contri­bu­tion à une mathé­ma­tique des hexa­grammes). Ceci est dû au fait que les opé­ra­tions de déploie­ment et d’empilement conservent la symé­trie par rap­port au centre.

Toutes ces mani­pu­la­tions vont trou­ver leur jus­ti­fi­ca­tion lorsque nous imbri­que­rons les trois losanges entre eux, pour pro­duire un « Grand Losange ». Résu­mons d’abord le che­min par­cou­ru.

En nom­mant les hexa­grammes par leurs numé­ros de Leib­niz, nous obte­nons trois séries linéaires crois­santes dont le nombre d’éléments est mul­tiple de quatre :

• les 4 car­di­naux (cou­leur : bleu nuit) ;
• les 16 nucléaires (cou­leurs : taupe, vert, bleu ciel, jaune) ;
• les 64 hexa­grammes (cou­leur : rouge).

En trans­for­mant cha­cune de ces séries par des opé­ra­tions de déploiement/ empi­le­ment, nous obte­nons trois losanges qui, une fois imbri­qués judi­cieu­se­ment, pro­duisent le « Grand Losange » pré­sen­té dans la figure sui­vante. Nous avons incrus­té dans cette figure le « S » de Shao Yong, mais aus­si la « croix sai­son­nière YinYang » où l’hiver est en bas, le prin­temps à gauche, l’été en haut et l’automne à droite. En effet il se trouve que l’orientation géné­rale du « Grand Losange » construit en sui­vant le « S » cor­res­pond exac­te­ment à la croix sai­son­nière, au sens des expli­ca­tions don­nées pour le « Man­da­la des nucléaires » dans L’architecture frac­tale du Yi Jing.

De fait, le « Grand Losange » est iden­tique au « Man­da­la des nucléaires » !

Com­ment lire le « Grand Losange » ?

Les quatre car­di­naux y sont repré­sen­tés de cou­leur bleu nuit, ordon­nés selon la croix sai­son­nière : 0, 42, 63, 21.

Autour de chaque car­di­nal se trouvent quatre hexa­grammes d’une même cou­leur dis­po­sés selon la croix sai­son­nière ; ces quatre hexa­grammes sont des nucléaires ; plus pré­ci­sé­ment :

• le car­di­nal 0 (en hiver) est nucléaire pour les nucléaires de cou­leur taupe : 0, 32, 33, 1
• le car­di­nal 42 (au prin­temps) est nucléaire pour les nucléaires de cou­leur verte : 20, 52, 53, 21
• le car­di­nal 63 (en été) est nucléaire pour les nucléaires de cou­leur bleu ciel : 30, 62, 63, 31
• le car­di­nal 21 (à l’automne) est nucléaire pour les nucléaires de cou­leur jaune : 10, 42, 43, 11

Autour de cha­cun des seize nucléaires se trouvent les quatre hexa­grammes rouges dont il est le nucléaire, tou­jours dis­po­sés selon la croix sai­son­nière. Par exemple :

• le nucléaire 42 (en jaune) est nucléaire pour les hexa­grammes 20, 52, 53, 21
• le nucléaire 52 (en vert) est nucléaire pour les hexa­grammes 24, 56, 57, 25

Exa­mi­nons les régu­la­ri­tés et les symé­tries dans le losange rouge.

• Pro­prié­té 4 : Deux hexa­grammes pla­cés symé­tri­que­ment par rap­port au centre (exemple : 10 & 53) ont pour somme 63, ce qui signi­fie qu’ils sont com­plé­men­taires.
• Pro­prié­té 5 : Deux hexa­grammes pla­cés symé­tri­que­ment par rap­port à l’axe ver­ti­cal sont des « retour­nés » réci­proques (on passe de l’un à l’autre en inver­sant l’ordre des traits).
• Pro­prié­té 6 : Un hexa­gramme pla­cé sur l’axe ver­ti­cal est son propre « retour­né ».
• Pro­prié­té 7 : Un hexa­gramme pla­cé sur l’axe hori­zon­tal a pour « retour­né » son com­plé­men­taire.

Contrai­re­ment aux pro­prié­tés qui font inter­ve­nir les com­plé­men­taires, les pro­prié­tés 5, 6 et 7, qui font inter­ve­nir la notion de « retour­né », n’ont pas de démons­tra­tion évi­dente pour moi dans le sys­tème binaire. Les pro­prié­tés 6 et 7 indiquent une dif­fé­rence entre les axes ver­ti­cal et hori­zon­tal qui est pro­ba­ble­ment la consé­quence du fait sui­vant ; 0 et 63 sont leurs propres nucléaires, tan­dis que 42 et 21 sont des nucléaires réci­proques. Cela me fait son­ger à une énigme du quo­ti­dien : pour­quoi mon image dans le miroir est-elle inver­sée gauche droite alors que mes pieds res­tent en bas et ma tête en haut ?

Nous avons vu que deux approches abou­tissent au même dia­gramme appe­lé dans cet article le « Grand Losange » ; il me semble inté­res­sant pour conclure de ques­tion­ner cette conver­gence.

L’approche « Man­da­la » part des quatre bigrammes racine, orien­tés selon la croix sai­son­nière YinYang, puis déploie pro­gres­si­ve­ment les six étages des hexa­grammes. C’est une approche opé­rant sur les traits.

L’approche « Leib­niz » opère sur des séries crois­santes de numé­ros de Leib­niz en les sou­met­tant à des trans­for­ma­tions géo­mé­triques gui­dées par le « S » de Shao Yong.

La conver­gence des deux approches semble éta­blir un prin­cipe d’équivalence entre la croix sai­son­nière YinYang et le « S » de Shao Yong !

A voir éga­le­ment : Leib­niz’ Bina­ry Sys­tem and Shao Yong’s Yijing (Ryan, James A)